连续|导数|中值定理

六十多岁的老专家还在钻研函数性质折磨考生，二十多岁的小伙子怎么能对这些看似简单的知识嗤之以鼻呢。学习是快乐的，开始吧。

函数连续性

直接给出定义：若函数f(x)满足称函数在是连续的。另一种形式：满足称函数在是连续的。两种定义是等价的。

函数的导数

定义：为函数在处的一阶导数。同样的有另一种形式：称函数在是连续的。两种定义同样是等价的。前者适合用于计算函数的一阶导数，后者适合用于折腾,因为可以相应地替换成满足一定条件的无穷小量，首先要满足当然是保证无穷小量能同时从和趋于0,才能作为导数的定义。

函数性质

函数、导数都是数学定量化的模型，或者称手段，目的只是为了研究函数本身的性质(单调性、凹凸性)以及由性质延伸出来特殊的点位(极值点、拐点)。这些点在不同的学科中都有着重要的研究意义，例如物理中速度、加速度，信号分析中信号变化的速率、考虑一个计算模型的收敛速度等。

单调性判别准则

单调性的判别：f(x)满足闭区间连续、开区间可导则：
1. 在开区间内满足 0，而且等号仅在有限个点上成立，则函数在闭区间上单调增加。
2. 在开区间内满足 0，而且等号仅在有限个点上成立，则函数在闭区间上单调减小。

极值点

定义：在的左右邻域，只要存在某个领域，使得该邻域的所有x满足则称x=是f(x)的极大（小）值。 注意：只需要存在一个邻域满足即可。

判定极值点的三个充分条件：
1 若 $在$ 连续，在其去心邻域可导，则只要其一阶导数左右邻域变号，在是极值点。
2 满足二阶可导，且在处的一阶函数为0，二阶函数不为0，则取得极值。
3 满足n阶可导，n为偶数，若在处前n-1阶导数均取得0，而n阶导数不为0，则取得极值。

凹凸性的判别准则

充分条件：函数在区间上二阶可导
1 若区间上二阶导数大于0，在该区间上图形是凹的。
2 若区间上二阶导数小于0，在该区间上图形是凸的。

注意：讨论的是区间上、一段函数上的二阶导数，若是在单个点处结论不一定成立。 ### 拐点定义：连续曲线的凹弧和凸弧的分界点称为该曲线的拐点。

判定拐点的三个充分条件：
1 若 $在$ 连续，在其去心邻域二阶可导，则只要其二阶导数在左右邻域变号，则是的拐点。
2 若 $在$ 函数三阶可导，二阶导数为0，三阶导数不为0，则是的拐点。
3 若 $在$ 函数n阶可导,n为奇数，的k阶导数均为0，n阶导数不为0，则是的拐点。

中值定理

函数连续性四个重要定理

如果函数满足在闭区间连续,则有：
1 最值和有界性定理：也即，函数必有界。
2 介值定理：若，则必然，使得.
介值定理实际上是以下接下来两个定理最一般的表述：表明闭区间上的连续函数能取到最大值和最小值之间的任何数值。
3 零点定理：若，则必然有时，。
4 平均值定理：若, 则，使得成立。零点定理和平均值定理实际上都是介值定理的特例。

费马引理

也是可导函数取得极值点的必要条件：若函数可导且在取得极值点，则必然有。

闭区间连续，开区间可导的三个定理

三个定理一脉相承：若函数满足在区间上满足闭区间连续、开区间可导：
罗尔定理：若存在，则有，使得。
拉格朗日中值定理：则有 柯西中值定理：如果，则有

积分中值定理

如果在[a,b]连续，则,使得成立，利用拉格朗日中值定理可以证明。
而根据柯西中值定理，还可以进一步证明：如果 $、$ 在[a,b]连续，且在[a,b]上不变号，则