信号与系统:信号的傅里叶变换

难得有心情，虽说是学科性的，但是也很有启发，应该记录一下。

泰勒级数

从一条著名的式子开始这个公式告诉我们任意给定f(x),只要满足f(x)在x0是任意阶可导的，那么这个函数就能由一系列幂函数的和逼近，无穷项幂函数的和一般称为幂级数，上述这个幂级数称为泰勒级数，Rn称为余项，表达式称为泰勒公式。其中如果则称Rn为拉格朗日余项；如果则称Rn为皮亚诺余项。两种余项是描述高阶幂函数在无限逼近f(x)产生的“余量”，这个余量是x^n次幂的高阶无穷小。而如果注意这里没有了余项，并且我们把两端划等号了，说明右侧的泰勒级数收敛于f(x)。应该知道，泰勒级数收敛于f(x)的充要条件是然而，泰勒公式在信号与系统的工程实践中并不常用，很大原因是由于它的条件过于苛刻，泰勒级数要求信号必须任意阶可导，在现实生活中的信号难以满足这个条件。

傅里叶级数

拟合函数不是幂函数的专利，还有一类非常完美的函数———三角函数也可以用来拟合信号函数。之所以称得上完美，这是因为三角函数具备其他函数如三角波、方波不具有的性质———保真性。对很多系统而言，正余弦信号作为输入，输出信号仍然是正余弦信号，仅仅相位、幅度可能发生变化，大大降低了信号分解的维度复杂性。然而傅里叶级数最初是一个饱受争议的发明，拉格朗日等学术大牛对傅里叶用周期性正余弦波来逼近函数的想法十分反对，认为三角函数局限性非常大，甚至不能描述具有间断点的函数。但后经研究表明，傅里叶变换能够迫近直至两个函数不具备能量上的差异。

狄利克雷(狄利赫里)收敛条件

傅里叶1830年去世，在1829年狄利克雷给出了傅里叶级数的三个收敛条件，满足这三个充分条件的一切函数都能被展开称傅里叶级数。

1、在任意区间上，f(x)绝对可积。

2、在任意有限区间内，f(x)具有有限个起伏变化，或描述为具有有限的极大值、极小值。

3、在任意的有限区间内，有有限个第一类间断点。第一类间断点只有两种(可去间断点以及跳跃间断点)

对于一般的信号，都满足狄利克雷收敛条件。一切能量信号也满足狄利克雷收敛条件。因此此后一百多年的时间里，傅里叶级数一直是信号分析最为重要的分析手段，尤其是快速傅里叶变换FFT算法问世以来，使其能在计算机时代仍然焕发出勃勃生机。

吉伯斯现象

用高阶叠加三角函数谐波去拟合矩形波，在观测矩形波信号时，发现矩形波在跳变的地方均出现了起伏峰值，随着叠加阶数上升，起伏的峰值不会减小，称为吉伯斯现象。这种现象是因为时间信号的跳变破坏了信号的收敛性，在间断点的傅里叶级数出现了非一致收敛。虽然峰值不会降低，但是随着阶数升高，峰值部分占据的能量占比会减小。离散时间信号不存在吉伯斯现象。

周期信号的傅里叶级数展开

三角函数形式(单边谱)

其中根据三角函数展开公式逆运算，可以用相角来代替正弦函数，得到余弦表达式: 其中

指数函数形式

根据欧拉公式可以将三角函数转换成指数函数，在信号分析中指数形式是最常用的。注意到 即是关于k的奇函数,A0实际上是k=0的情况，因此可以进一步写出：注意到讨论它的共轭部分是必须的，对实信号而言有共轭对称性质：说明实信号的幅值必然是偶对称的，成双边谱线排列；而其相角同样也是双边谱线，但呈奇对称排列分布。 #### 连续时间傅里叶级数CFS 此时我们已经介绍完成了三种傅里叶级数的形式，如果你已经记住了，对于信号分析而言，是时候开始忘记一些了。我们现在仅仅留下最后一种：注意，这里的是第三种表示方法的，不再是第一种描述方法的“”“”。由于在高等数学中习惯使用第一种方法描述傅里叶变换，而奥本海姆的信号与系统中习惯用来描述复指数分解，我们以后者为标准。根据表达式，我们给出周期信号的几种观点：

1、周期信号能够分解成以为基波频率的各次高阶谐波的叠加。

2、对于不同的周期信号，本质只是系数不同，因此研究周期信号，转到频域上是研究-w的特性，这个特性即为频谱特性。上面也说到，是一个复数，包括模和相角。其模-w的特性就是周期信号的幅频特性，而相角-w特性就是周期信号的相频特性。w只可能取值w0（基波频率）的整数倍，所以周期信号的频谱特性是离散的。

很多时候我们得到一个信号，我们希望得到它的频谱，也即，现在基于上面一条的公式，我们开始推导，用输入信号x(t)表示出。两侧同乘以后在一个周期内进行积分：整理出：至此我们得到了连续周期信号重要的一对描述公式，称为连续时间傅里叶级数（CFS），我们把它放在一起：

有了连续时间信号的基础，以下，我们将进入对离散时间信号分析。

离散时间信号傅里叶级数(DFS)

根据连续时间的启示，我们写出这样的傅里叶展开式：与连续时间信号不同，对于离散时间信号，n只能取整数。对于,显然只有当kw0为的整数倍时，才可能具有连续时间那样的周期性。闭上眼睛，想象一幅连续时间下的正弦函数，毫无疑问它是具备周期性的。现在我们每隔一定的间隔去取样，为了保证取样的样本具备周期性，我们必须以的有理数倍去取。假如我们以t=1，2、3、4，由于整数是的无理数倍，如此下去，无论我们采多少个点，必然得不到周期的样本。此外，你还可以画一张cos(2n),注意，n只能是整数，得到图像必然也不会是周期的。这就是离散时间和连续时间在时域最根本的区别。因此，能让指数表达式符合周期函数的基波频率，必然满足：且保证是有理数，若已经是不可约，则N是该离散函数的最小正周期。且知道离散时间信号的完备谐波谐波集只需要包含N个采样点即可。于是，离散时间信号的正确表征应当为：这里我们把显式表达出来，N为离散函数最小正周期，一般就叫做周期。现在我们开始推导将表示出来。思路类似，两边同乘后在一个周期上积分： k r时分子为0，结果为0；k=r时上下都是趋于0，可以用e^x-1~x的等价无穷小替换结果应为N，因此整理得到：至此，我们完成了和连续时间一样的工作，得到离散时间傅里叶级数（DFS）: 注意尽管开始时没有特意强调，我们应该知道前面一直讨论的是周期信号的展开以及频谱的导出，因为我们计算傅里叶级数系数一直是按周期T、周期N来进行的，对于非周期信号我们还要继续讨论。

非周期信号的傅里叶变换：

从一段脑补开始展开。周期信号的频谱是离散的，每个分量间隔一个基波频率。而非周期信号可以看成是T->的周期信号。根据此时基波频率趋向于无穷小，频谱间隔区域也趋于无穷小，非周期信号的频谱将成为一段连续的频谱。除此以外，非周期的频谱还有一个重要的特点：即频谱趋于无穷小，我们通过一个例子说明：考虑一个周期为T，在-T1~T1幅值为1的矩形波信号(T1< T),根据周期信号我们将其频谱展开: 定义一个函数，这是信号分析里重要函数，它是一个振荡的随着|x|增大而衰减的函数，在x=0时峰值为1，进一步写成：可以看到，当T->时，频谱将变成无穷小。因此为了研究非周期信号的频谱，我们必须把这个频谱进行处理，使其在有限域内，实际上是在傅里叶级数的基础展开进行改进得出的变换公式，这就是傅里叶变换。

连续时间傅里叶变换（CTFT）

从上面描述连续时间非周期信号的频谱的是一个趋向无穷小的量，这个无穷小是T->带来的，因此把T乘到左边，我们定义一个新的量X(jw)，这个过程称为连续时间傅里叶正变换 此处T->时x(t)为非周期信号，k->，X(jw)称为频谱密度，表征单位频率上的频谱分布，一般也可以简称为频谱，但应该了解此处所谓的频谱和周期信号的频谱是有所区别的。同样的，根据周期信号傅里叶级数展开: 当T->时，-->，T-->X(jw)，k-->，-->-->，所以有：称为连续时间傅里叶反变换公式。所以综合一起得到了连续时间非周期信号的傅里叶变换对：

离散时间傅里叶变换(DTFT)

还是从周期信号的离散变换开始：非周期信号时，等效于N->，可以看出，此时的周期信号离散时间频谱和连续时间是类似的，满足：
1 当N->时，离散时间非周期信号频谱是连续的。
2 当N->时，离散时间非周期信号的频谱同样趋向于无穷小。
因此，对于第二个特点，我们同样定义在周期信号里，频谱的增量是，当N->时,增量是一个趋向于无穷小的量，即->,n仍只能取整数。所以应该有: 不难看出，离散时间傅里叶变换的频谱密度是关于以2为周期的重复。值得说明的是，我们一开始并没有强调离散信号的意义。事实上，生活中我们遇到的信号几乎都可以归结成连续时间信号，然而信号分析中，计算机处理的数据几乎都是离散的数据样本。毕竟现代计算机是0和1组成一系列机器命令的数字计算机，所有的连续信号进入计算机必然经过传感器采样、或者经过AD转换器采样量化达到离散效果，DTFT实际上就是完成了时域上离散的工作。离散时间傅里叶逆变换的推导也是类似：同样有当N->时，因为离散时间信号的频谱密度是以为周期的，无穷区间上的积分相当于一个周期上积分，所以--> $，$ N-->，k-->，-->-->，所以有：结合起来，这就是离散时间傅里叶变换对(DTFT)：事实上，这是一个很奇怪的结果，频谱密度的计算是求和，离散时间信号的表出却是积分计算，这是因为DTFT仅仅是对时域进行了离散化，而频域上还是连续的。因此，为了方便计算机处理，信号分析中另一种更加常见的离散时间处理，称离散傅里叶变换(DFT)。

离散傅里叶变换(DFT)

DTFT是对连续时间信号采样得到的离散信号，频域仍然是连续的，因此DFT进一步对DTFT的频域进行采样，采样得到有限长为N的离散序列得到：通常令所以离散傅里叶变换为：

快速傅里叶变换(FFT)

占坑

周期信号的傅里叶变换

以上我们利用傅里叶级数展开来描述了连续、离散时间的周期信号，在此基础上得到了对连续、离散时间非周期信号的傅里叶变换。周期信号同样可以利用傅里叶变换手段表出。首先来研究这样一个信号的傅里叶变换：根据时域-频域傅里叶变换对: 频域频移 $有$ ：因此根据连续时间周期信号的傅里叶展开有：同样的，对于离散时间周期信号有：此即称为周期信号的傅里叶变换。

LTI系统分析

线性时不变系统是研究信号分析和建模理论的重要部分。傅里叶变换可以作为LTI系统分析的有效手段。

特征函数与特征值

如果一个系统对输入信号的响应，只不过是该输入信号乘上一个常数，那么称该信号为特征函数，乘上的常数就称为特征值。首先明确LTI系统的重要特性： 复指数常数、是一切LTI系统的特征函数，对应特征值表示为H(s)、H(z)。其中

LTI系统时域分析

系统，是一个从输入到响应输出的过程。例如用手打一下脸，脸会疼，击打是输入，疼痛感是输出。我们现在建立这样一个模型： 设表示随时刻变化击打的力度，例如在t=0使用了10N的力，在t=5使用了20N的力度；设为皮肤疼痛感随时间衰减的曲线。明确的是，只和皮肤本身有关，和是否击打、击打力度无关，这是一个皮肤和神经本身的特性函数。现在我们希望得知t=T时刻皮肤的疼痛感y(T)。 >显然这种想法是错误的。其一，T时刻的衰减对应应该是T时刻前的输入；其二，疼痛感有积累的过程，不能忽视前T时间内的击打造成的疼痛。

正确的方法应该是：计算0时刻的击打，在T时刻衰减的疼痛感，再计算1时刻，在T-1时刻的疼痛感(因为1时刻的击打只经过T-1时间的衰减)，以此类推，最后累积求和，最后我们写出：连续时间、任意时刻的疼痛感进一步可以写为：定义这个星号运算，称为卷积。上式也描述了LTI系统的时域分析方法，也即输入信号在响应函数上的反转、加权、叠加。

LTI系统傅里叶变换分析

有了前面的基础，下面的就容易理解了。由于LTI系统的齐次性、叠加性，在时域卷积的基础上，我们进行傅里叶变换：积分大小和积分记号无关，所以：同样在离散时间下有：此即根据连续时间傅里叶变换得到的频域分析式。很多时域复杂的信号可以通过傅里叶变换得到简单的频域表达式，在频域上通过乘积运算求得系统输出频率响应再进行傅里叶逆变换即可求得时域输出，两种分析方法效果是完全等价的。

LTI系统的傅里叶级数分析

前面我们讨论了周期信号的傅里叶级数展开式子，针对周期信号输入的系统响应，可以采取傅里叶级数分析方法。

对复指数信号的响应

首先考虑一类的特殊的信号———复指数信号。我们提过复指数函数是一切LTI系统的特征函数，LTI系统对复指数信号的响应是乘上一个复常数。设输入信号,系统响应函数：此处我们记形式上这也是系统响应函数的傅里叶变换，称为频率响应函数。进一步写出也即LTI系统的输出是输入乘上一个复常数，这个复常数就是所谓的特征值。

对周期信号的响应

周期信号的重要分解观点是将周期信号展开成复指数信号的加权和，不同的周期信号只是傅里叶级数系数不同，这个系数称为周期信号的频谱。既然已经推导出基本信号——复指数函数的对应的特征值，那么顺其自然有：这就是傅里叶级数分析法。

傅里叶级数系数与傅里叶变换关系

实际上在我们前面的推导就已经涉及了，傅里叶级数展开系数称为频谱，傅里叶变换频域表达式实际上是频谱密度，关系表达为：当->时，即右边取极限T->,左边就成为了傅里叶变换。上式是取极限前的一般表达。因此就得到了从傅里叶变换到得到周期信号频谱的表达式：

常见信号的傅里叶变换对与频谱

均匀冲激串信号 傅里叶变换: 周期信号傅里叶变换分析：

注：当是常数时，时域信号表示为，时域乘上，可对频谱进行平移，频谱之间线性求和实现成奇偶分布等。

矩形波信号 $（常数），，其他$ 傅里叶变换对：频谱：（周期延拓的x(t)对应频谱）

注：时域是时限常数信号，对应的频域是Sa(x)函数。

3、矩形脉冲信号(离散时间) $（常数），，其他$ 傅里叶变换对：频谱：（周期延拓后，周期为N）

注：包络形状

还有一些是频域典型的信号 4 连续时间理想低通滤波器 $（常数），，$ 时域表示为：

注：形状具有sinc函数形式

5 离散时间理想低通滤波器 $（常数），，$

注：离散时间的频率响应是以2为周期的，靠近0部分为低频，靠近部分为高频，因此0<<。

时域表示为：

注：显然当截止频率变为时，时域信号sinc演变成脉冲序列。

因此如果需要构造一个离散时间的全通函数滤波器，一种思路是可以通过两个截止频率为、幅值幅值为的低通滤波器频域卷积得到,也即 $，$ 时域表示

奈奎斯特：信号的采样

时限信号一定非带限，带限信号一定非时限。以下所有的采样均只适用于带限信号的采样。

连续时间信号的采样与恢复

连续时间信号采样与恢复框图是一致的，只要两个模块:

输入信号与采样信号通过乘法器相乘采样
采样信号主要有冲激串采样、周期方波采样、周期三角波采样、交替冲激信号采样
相乘输出信号通过重建滤波器，作用均是补偿幅值、滤除其他延拓的频谱。

冲激串采样
采样： P的频率称为采样频率 时域上：频域上：

1 时域特性：时域上连续时间信号x(t)成为一系列离散的x(nT)。

2 频域特性：原带限信号搬移到冲激串频谱位置（也即周期为T的延拓）。

恢复：通过一个截止频率、幅值为T的理想低通滤波器。

零阶保持采样
恢复：滤波器形式为：假设一个截止频率为、幅值为T的理想低通滤波器频率响应是H(jw)。令恢复滤波器为：
一阶保持采样 恢复：令恢复滤波器为：

离散时间信号的采样与恢复

首先介绍离散时间信号尺度变换，形式上与连续时间信号相似，但是对于采样的意义却大为不同。

抽取（减采样）

离散时间的抽取通过离散采样、抽取两个步骤进行，这种进行的方法的抽取过程和直接进行nT的抽取效果是等效的，但是直接进行nT抽取会导致不被抽取部分的信息永久丢失，是不可逆操作。而分两步进行首先将频谱进行了周期延拓，再实现抽取是无损且可逆的，因此这样抽取可以恢复出原信号。以例子(N=3)进行说明。

1. 离散采样（脉冲序列采样） 时域上：频域上：其中

我们主要关注频域的变化，第一步的离散采样完成两个任务。
1. 首先将频谱进行了搬移，或者称周期延拓，延拓的位置是。 2. 第二，幅值变为原来的

2. 抽取
时域上：

注：经过了第一步，非3的倍数的值全部为0，因此这一步只是将零值去掉了，抽取出n=3的倍数位置的值。

频域上：

第二步的频域变化是将频域横坐标扩大了N=3倍，周期为2

内插（增采样）

1. 零值插入
以三倍内插N=3为例：时域上： $，，$

时域上在的每个n之间插入了2个零值

频域上：

频域上的频谱坐标缩减到原来的三分之一

2. 内插系数补偿
经过一个幅值为N（内插系数）的低通滤波器，在抽取操作后可以看到幅值是变为原来的，为了保持抽取、内插操作之后能量保持一致，故通过低通滤波器进行补偿。但注意这一步操作也不是必须的。

拉普拉斯变换（S变换）

拉普拉斯变换是傅里叶变换在整个复数域的推广，从函数变换角度，拉普拉斯变换加入了实数因子，实数因子能够作为衰减因子，对一些并不满足连续时间上绝对可积、离散时间上绝对可和的信号进行S变换。从工程应用的角度，傅里叶变换针对于信号的分析，而拉普拉斯变换在电路系统方面使用较多，例如由电容、电感构成的微分、积分电路分析。

极点与时域波形的关系零极点图是分析S域、时域特性的有力工具，极点分布可以大致反映时域波形的趋势。 1)极点在实轴

LTI系统信号响应的分类以及求解：

零输入响应和零状态响应：零输入响应：通过时域的齐次方程解得，在因果系统、初始条件松弛情况下均为0。 >零输入响应是时域齐次通解的一部分。根据微分方程知识获得齐次解（含未知常数），带入系统初始条件 $、$ ,得到的就是零输入响应。但不应该因为这样认为全部齐次通解都是零输入响应，事实上其为自由响应。

零状态响应：S域、Z域的非齐次的微分方程、差分方程求解结果为零输入响应，一般而言讨论的是因果系统，或称初始条件松弛，此时零输入响应为零，零状态响应也是全响应。 >零状态响应是时域齐次通解一部分+非齐次通解的全部。

自由响应和强迫响应：自由响应：只与系统函数有关，可以根据系统函数H(s)或H(z)的极点确定相关的时域项为自由响应部分，注意此处的极点应该是不考虑零极点相消的情况。 >自由响应也对应时域齐次微分方程的通解。

强迫响应：与输入信号有关的响应，除去自由响应即强迫响应。 >强迫响应对应的是时域非齐次微分方程的特解。

稳态响应和瞬态响应：稳态响应：时域上表征为随着时间增大，也始终存在的响应部分。

瞬态响应：随着时间增大，部分的部分可能趋于0的部分为瞬态响应。